Mô hình Bachelier (phân phối chuẩn)

Bachelier (1900) là mô hình định giá quyền chọn đầu tiên, ra đời trước Black-Scholes tới 73 năm. Trong mô hình này, thay đổi giá mang tính cộng và tuân theo phân phối chuẩn. Thay vì mô hình hóa lợi suất phần trăm (lognormal), Bachelier mô hình hóa thay đổi theo đô la (normal). Giá có thể xuống âm, đó là lỗi khi áp dụng cho cổ phiếu, nhưng lại là ưu điểm với lãi suất.

Mô hình chỉ có đúng một tham số: normal vol, đo theo giá trị tuyệt đối (ví dụ "$50/năm" thay vì "30%/năm"). Không có smile. Nếu thế giới vận hành theo Bachelier, mọi quyền chọn ở mọi giá thực hiện sẽ có cùng một normal vol. Smile phẳng đó chính là dự báo cốt lõi của mô hình.

💡

Skew có thể là sản phẩm phụ của mô hình

Bachelier tạo ra smile phẳng ngay từ cấu trúc. Hãy chuyển các mức giá đó sang biến động ngụ ý Black-Scholes, bạn sẽ thấy xuất hiện skew. Skew đó không nằm trong thị trường. Nó là hệ quả của việc ép toán học lognormal lên một thế giới có thể vận động theo phân phối chuẩn.

Khám phá mô hình

Đường đứt nét màu xanh dương phẳng là góc nhìn của Bachelier: một mức vol cho mọi giá thực hiện. Đường cong màu xanh lá thể hiện cùng các mức giá quyền chọn đó nhưng quy đổi sang thuật ngữ Black-Scholes. Hãy hạ giá giao ngay và quan sát skew BS biểu kiến dốc lên, dù trong thế giới Bachelier không có gì thay đổi.

Trình khám phá Bachelier vs Black-Scholes

Thiết lập điển hình. Đường smile của Bachelier phẳng theo định nghĩa. Cùng các mức giá đó khi biểu diễn lại theo BS sẽ tạo ra skew.

Vol normal20

Biến động tuyệt đối theo $/năm (không phải phần trăm)

Giá giao ngay (S)100

Giá giao ngay thấp hơn = skew BS rõ hơn

Đường nét đứt màu xanh dương phẳng là góc nhìn của Bachelier: một mức vol cho mọi giá thực hiện. Đường cong màu xanh lá là cùng các mức giá quyền chọn đó được biểu diễn lại theo Black-Scholes. "Skew" là sản phẩm của mô hình, không phải đặc điểm của thị trường.

Vai trò của từng tham số

• Normal vol: Tham số duy nhất. Đo bằng đơn vị giá tuyệt đối mỗi năm (không phải phần trăm). Normal vol bằng 20 nghĩa là giá dự kiến biến động $20 trong một năm (một độ lệch chuẩn). Mọi giá thực hiện đều nhận cùng mức vol này, nên smile là phẳng.
• Giá giao ngay: Không làm thay đổi smile Bachelier (vẫn phẳng). Nhưng nó tác động rất mạnh đến smile tương đương theo BS. Ở mức giá giao ngay thấp hơn, cùng một biến động tính bằng đô la tương ứng với biến động phần trăm lớn hơn, nên biến động ngụ ý BS tăng lên, tạo ra put skew biểu kiến.

Vì sao "skew" BS xuất hiện

Điều gì xảy ra

Góc nhìn Bachelier

Góc nhìn BS

Định giá quyền chọn tại tiền (ATM)

Áp dụng trực tiếp normal vol

Lognormal vol xấp xỉ normal_vol / spot

Put ngoài tiền (giá thực hiện thấp)

Cùng vol với ATM

IV cao hơn vì cùng biến động $ = biến động % lớn hơn ở mức giá thấp

Call ngoài tiền (giá thực hiện cao)

Cùng vol với ATM

IV thấp hơn vì cùng biến động $ = biến động % nhỏ hơn ở mức giá cao

Hạ giá giao ngay

Smile vẫn phẳng

Toàn bộ đường cong dịch lên, cánh put dốc hơn

ℹ️

Beta của SABR chọn backbone

Backbone của SABR (smile khi tắt vol-of-vol) phụ thuộc vào beta. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. Beta quyết định bạn đứng ở đâu trên phổ giữa normal và lognormal.

Bachelier được dùng ở đâu

Thị trường

Vì sao dùng Bachelier

Đơn vị normal vol

Swaption lãi suất

Lãi suất đã xuống âm ở EUR, JPY, CHF. BS sụp đổ tại mức 0. Bachelier thì không.

bps/năm (ví dụ 50 bps)

Quyền chọn spread

Spread có thể âm. Mô hình dạng cộng là lựa chọn tự nhiên.

$/năm hoặc bps/năm

Quyền chọn CDS

Chênh lệch tín dụng được mô hình hóa tự nhiên dưới dạng biến động cộng.

bps/năm

Crypto (ngách)

Quyền chọn phí funding hoặc quyền chọn basis, nơi tài sản cơ sở có thể âm.

%/năm (tuyệt đối)

⚠️

Không dành cho quyền chọn crypto giao ngay

Giá crypto giao ngay luôn dương và thể hiện hiệu ứng đòn bẩy (vol tăng khi giá giảm). Khung lognormal (họ Black-Scholes) phù hợp hơn ở đây. Bachelier là công cụ đúng cho lãi suất, spread và bất cứ thứ gì có thể xuống âm.

So sánh nhanh Bachelier và Black-Scholes

Bachelier

Black-Scholes

Động lực giá

Dạng cộng (normal)

Dạng nhân (lognormal)

Đơn vị vol

$/năm (tuyệt đối)

%/năm (tương đối)

Giá âm?

Có (theo thiết kế)

Không (log của số âm không xác định)

Hình dạng smile

Phẳng theo định nghĩa

Chỉ phẳng nếu thế giới thực sự lognormal

Tham số

1 (normal vol)

1 (lognormal vol)

Quy đổi

σ_n ≈ σ_BS × S (gần ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (gần ATM)

Dùng cho

Lãi suất, spread, CDS

Cổ phiếu, FX, crypto giao ngay

Công thức quy đổi

Gần ATM, bạn có thể quy đổi giữa hai mô hình:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

Một cổ phiếu giá $100 với BS vol 30$30. Nhưng phép xấp xỉ này mất chính xác khi đi xa khỏi ATM, và đó chính là lý do "smile" BS xuất hiện khi bạn quy đổi giá Bachelier.

💡

Smile phẳng theo định nghĩa

Bachelier coi thay đổi giá là dạng cộng. Smile của nó phẳng theo định nghĩa. Skew xuất hiện sau khi quy đổi sang thuật ngữ BS là sản phẩm phụ của việc chọn mô hình, không phải đặc điểm của thị trường.

Công cụ khám phá phương trình

Trình khám phá phương trình

Giá giao ngay (S)

$

Giá thực hiện (K)

$

Số ngày đến đáo hạn

ngày

Lãi suất phi rủi ro

%

Biến động ngụ ý (σ)

%

Giá call

$8300

Giá put

$7890

Δ của call

0.555

d₁

0.102

Vega

$114

---

Kiểm tra hiểu biết của bạn trước khi tiếp tục.

Q: Vì sao Bachelier tạo ra smile phẳng còn Black-Scholes thì không?

Q: Nếu lấy giá quyền chọn Bachelier và quy đổi sang biến động ngụ ý BS, bạn sẽ thấy put skew. Skew đó đến từ đâu?

Q: Khi nào nên dùng Bachelier thay cho Black-Scholes với crypto?

Q: Quan hệ gần ATM giữa normal vol và BS vol là gì?

💡 Mẹo: Hãy thử trả lời từng câu hỏi trước khi xem đáp án.

Xây dựng trực giác toán học

Học Bachelier từ đầuBài học tương tác · không cần kiến thức nền

Bài học này bắt đầu bằng mô hình tư duy diễn giải dễ hiểu, sau đó đi qua normal volatility, công thức định giá, và lý do một smile normal phẳng có thể hiện ra thành skew khi bạn chuyển nó sang thuật ngữ Black-Scholes.

---

Xem thêm:

• Black-Scholes: Phiên bản lognormal tương ứng
• Mô hình CEV: Nối normal và lognormal qua tham số beta
• Mô hình SABR: Dùng beta để chọn vị trí trên phổ normal-lognormal
• Displaced Diffusion: Một cách khác để xử lý tài sản cơ sở gần bằng 0
• Biến động ngụ ý: Khái niệm phụ thuộc vào mô hình bạn chọn
• Skew: Phân biệt sản phẩm phụ của mô hình với đặc điểm thị trường