Các phương pháp nội suy cho bề mặt biến động

thông tin

Đây là trang bổ trợ cho Bề mặt biến động được xây dựng như thế nào. Hãy bắt đầu từ trang đó để hiểu vì sao nội suy lại quan trọng.

Bề mặt biến động có những khoảng trống. Nội suy lấp đầy chúng. Lựa chọn phương pháp quyết định bề mặt thu được có trơn, không có arbitrage và ổn định hay không. Trang này so sánh các cách tiếp cận chính.

So sánh phương pháp nội suy

Các chấm trắng là các báo giá thị trường thực duy nhất. Mọi thứ ở giữa là ước tính. Click từng phương pháp để thấy ưu và nhược điểm.

Điều gì có thể sai

Trước khi đi sâu vào từng phương pháp, bạn hãy tự xem các vấn đề. Cùng 7 điểm quan sát thị trường, ba phương pháp nội suy khác nhau. Hãy quan sát điều gì xảy ra ở phần cánh (wings) và tại các điểm dữ liệu.

Điều gì có thể sai: Lỗi nội suy

Cùng 7 quan sát thị trường, ba phương pháp nội suy khác nhau. Hãy xem điều gì xảy ra ở phần cánh.

Các đường cong đa thức mượt. Có thể dao động và vượt ngưỡng ở phần cánh.

Các chấm trắng là những quan sát thực duy nhất. Nhấp "So sánh tất cả" để chồng cả ba phương pháp lên nhau. Hãy chú ý cách spline vượt ngưỡng ở cánh trái trong khi SVI vẫn giữ trong giới hạn.

---

Các phương pháp phi tham số

Các phương pháp này khớp đường cong qua các điểm dữ liệu mà không giả định một dạng hàm cụ thể. Chúng nhanh và đơn giản, nhưng không đưa ra bảo đảm nào về cấu trúc.

Nội suy tuyến tính

Vẽ các đoạn thẳng nối giữa các điểm dữ liệu liền kề.

Ưu điểm:

• Rất dễ triển khai
• Không cần khớp hay tối ưu hóa
• Tất định: cùng đầu vào luôn cho cùng đầu ra

Nhược điểm:

• Tạo ra các góc nhọn tại mọi điểm dữ liệu. Những góc này làm đạo hàm bậc nhất bị gián đoạn, nghĩa là các Greeks (đặc biệt là gamma) nhảy đột ngột tại các giá thực hiện được quan sát.
• Không có bảo đảm chống butterfly arbitrage. Một đoạn thẳng giữa hai điểm có thể lõm xuống dưới vị trí mà một đường smile lồi lẽ ra phải nằm.
• Ngoại suy hoàn toàn là phỏng đoán (chỉ kéo dài độ dốc của đoạn cuối cùng).

Dùng cho: Ước lượng nhanh, kiểm tra hợp lý, gỡ lỗi. Không dùng để định giá trong production.

Nội suy cubic spline

Khớp các đa thức bậc ba từng đoạn giữa các điểm dữ liệu, với ràng buộc để đạo hàm bậc nhất và bậc hai khớp nhau tại mỗi điểm nối. Kết quả là một đường cong trơn $C^2$ (độ cong liên tục).

Tên gọi này xuất phát từ thước spline vẽ kỹ thuật: những thanh gỗ dẻo mà người thợ vẽ uốn qua các chốt để vẽ đường cong trơn.

Ưu điểm:

• Đường cong trơn đi qua tất cả các điểm dữ liệu
• Không cần ước lượng tham số (spline được xác định bởi dữ liệu và điều kiện biên)
• Tính toán nhanh

Nhược điểm:

• Hiện tượng Runge: Tại rìa miền nội suy, đa thức có thể vọt lố rất mạnh. Với bề mặt biến động, điều này có nghĩa là IV ở phần cánh tăng vọt hoặc thậm chí âm.
• Dao động: Giữa các điểm dữ liệu, đường bậc ba có thể dao động lên trên hoặc xuống dưới so với một đường smile "chuẩn mực", tạo ra các chỗ lõm (butterfly arbitrage).
• Nhạy cảm với giá trị ngoại lai: Một điểm dữ liệu sai (báo giá cũ, nhập nhầm) làm méo toàn bộ đường cong vì các ràng buộc về độ trơn lan truyền sai số đi khắp nơi.
• Không kiểm soát được hành vi ngoại suy.

Dùng cho: Trực quan hóa, nghiên cứu học thuật, hoặc làm giá trị khởi tạo trước khi khớp tham số. Không dùng để định giá hay quản lý rủi ro trong production.

---

Các phương pháp tham số

Các phương pháp này giả định một dạng hàm cho đường smile và khớp các tham số của nó với dữ liệu. Chúng đánh đổi nội suy chính xác để lấy khả năng kiểm soát cấu trúc.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Tiêu chuẩn của ngành cho bề mặt biến động crypto và cổ phiếu. Năm tham số cho mỗi lát ngày đáo hạn.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Xem tài liệu tham khảo đầy đủ: Tham số hóa SVI

Vì sao SVI chiếm ưu thế: SVI là điểm cân bằng giữa tính linh hoạt và tính tiết kiệm tham số. Năm tham số có thể khớp gần như mọi hình dạng smile quan sát được, trong khi các ràng buộc bất đẳng thức đơn giản cùng một bước kiểm tra mật độ rẻ sẽ loại trừ butterfly arbitrage. Phần cánh tiệm cận tuyến tính, nên ngoại suy bị chặn và hợp lý.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Một mô hình biến động ngẫu nhiên suy ra đường smile từ các giả định về cách biến động thay đổi theo thời gian. Bốn tham số: $\alpha$ (mức biến động), $\beta$ (số mũ CEV), $\rho$ (tương quan giữa giá spot và biến động), $\nu$ (vol-of-vol).

Xem tài liệu tham khảo đầy đủ: Mô hình SABR

Vì sao SABR tồn tại: SABR nắm bắt động lực của đường smile, không chỉ hình dạng tĩnh. Nó cho bạn biết đường smile nên dịch chuyển thế nào khi tài sản cơ sở biến động (mặc định là sticky delta). Điều này khiến SABR phù hợp tự nhiên với swaption lãi suất, nơi động lực của smile ảnh hưởng đến việc phòng hộ.

Local Volatility (Dupire)

Không phải là phương pháp khớp theo nghĩa thông thường. Local vol suy ra một bề mặt biến động tức thời từ bề mặt biến động ngụ ý quan sát được. Nó trả lời câu hỏi: "Biến động tức thời tại mỗi tổ hợp (spot, thời gian) phải bằng bao nhiêu để tái tạo chính xác các giá quyền chọn này?"

Xem tài liệu tham khảo đầy đủ: Local Volatility

Vì sao local vol tồn tại: Local vol là mô hình không có arbitrage duy nhất khớp chính xác mọi giá quyền chọn quan sát được. Nó là cầu nối giữa biến động ngụ ý và một engine định giá có thể xử lý các payoff phụ thuộc đường đi.

SSVI (Surface SVI)

Một mở rộng của SVI, mô hình hóa toàn bộ bề mặt cùng lúc thay vì từng lát riêng lẻ. SSVI bảo đảm không có calendar arbitrage ngay từ cấu trúc: tổng phương sai luôn tăng theo kỳ hạn tại mọi giá thực hiện.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Trong đó $\theta_t$ là tổng phương sai ATM tại thời điểm $t$ và $\varphi(\theta_t)$ kiểm soát cách skew thay đổi theo kỳ hạn.

Đánh đổi: Ít tham số tự do hơn SVI theo từng lát (hình dạng smile được liên kết giữa các ngày đáo hạn), nên độ khớp ở từng lát có thể kém hơn một chút. Nhưng bạn không bao giờ cần sửa calendar arbitrage sau khi khớp.

---

Bảng so sánh

Phương pháp

Tham số

Không arbitrage?

Ngoại suy

Tốc độ

Phù hợp nhất cho

Tuyến tính

0

Không

Không bị chặn

Tức thì

Gỡ lỗi

Cubic Spline

~12 (ngầm định)

Không

Dao động

Nhanh

Trực quan hóa

SVI

5 mỗi lát

Có (có ràng buộc)

Tuyến tính bị chặn

Nhanh

Crypto / cổ phiếu

SABR

4

Phần lớn

Hợp lý

Trung bình

Lãi suất / swaption

Local Vol

Toàn bộ lưới

Theo cấu trúc

N/A (suy ra)

Chậm

Định giá quyền chọn exotic

SSVI

~6 (bề mặt)

Có (cả calendar)

Bị chặn

Nhanh

Nhất quán toàn bề mặt

Cách lựa chọn

• Cho định giá crypto/cổ phiếu trong production: SVI hoặc SSVI. Ngành đã hội tụ về đây là có lý do chính đáng.
• Cho quyền chọn lãi suất: SABR. Nó nắm bắt động lực smile, yếu tố quan trọng khi phòng hộ swaption.
• Cho định giá phái sinh exotic: Local vol (hoặc mô hình lai stochastic local vol). Bạn cần toàn bộ bề mặt, không chỉ các lát riêng lẻ.
• Cho phân tích nhanh hoặc trực quan hóa: Cubic spline vẫn ổn, miễn là bạn không giao dịch dựa trên nó.
• Không dùng cho bất cứ việc gì: Nội suy tuyến tính trong production. Thật đấy.

---

Công cụ khám phá phương trình

Mọi phương pháp nội suy đều làm việc với tổng phương sai và log-moneyness. Hãy dùng công cụ tính này để chuyển đổi giữa các cách biểu diễn.

Trình khám phá phương trình

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Biến động ngụ ý (σ)

%

Mức biến động ngụ ý

Thời gian đến đáo hạn

ngày

Số ngày dương lịch đến đáo hạn

Phương sai tổng (w)

0.022225

Phương sai theo năm (σ²)

0.2704

IV tính ngược lại

52.00%

Phương sai tổng là đại lượng mà SVI và các mô hình khác khớp (fit). Nó tăng theo thời gian, nên vol 50% trong 30 ngày có phương sai tổng nhỏ hơn vol 50% trong 90 ngày.

---

Xem thêm:

• Bề mặt biến động được xây dựng như thế nào - Toàn bộ quy trình
• Tham số hóa SVI - Tìm hiểu sâu về SVI
• Mô hình SABR - Tìm hiểu sâu về SABR
• Local Volatility - Tìm hiểu sâu về Dupire