Mô hình bước nhảy và đuôi dày
Thị trường có những cú gap giá. Một vụ khai thác lỗ hổng giao thức, một quyết định bất ngờ của Fed, một chuỗi thanh lý dây chuyền. Các mô hình biến động ngẫu nhiên gặp khó khăn với những bước nhảy đột ngột. Mô hình bước nhảy xử lý trực tiếp các tình huống này: giá dịch chuyển tức thời sang một mức mới tại các thời điểm ngẫu nhiên.
Tổng quan nhanh
Điểm chung
Cả ba mô hình đều giải thích đuôi dày và smile ngắn hạn dốc bằng cách cho phép giá nhảy. Chúng khác nhau ở phân phối bước nhảy và việc có hay không thành phần khuếch tán liên tục.
Mối quan hệ giữa các mô hình
Merton là mô hình đầu tiên: lấy Black-Scholes và thêm các bước nhảy ngẫu nhiên được rút từ phân phối lognormal. Các bước nhảy là đối xứng, nên mô hình làm dày cả hai đuôi như nhau. Kou khắc phục điều này bằng cách thay bước nhảy lognormal bằng phân phối hàm mũ kép, cho phép có các tham số riêng cho bước nhảy lên và bước nhảy xuống, nhờ đó cú sập có thể lớn hơn cú tăng. Variance Gamma đi theo một hướng khác: loại bỏ hoàn toàn thành phần khuếch tán và mô hình hóa lợi nhuận như một chuyển động Brown chạy trên một đồng hồ ngẫu nhiên (một quá trình gamma). Mọi biến động đều đến từ các bước nhảy. Điều này biến nó thành một quá trình thuần bước nhảy, trong đó các tham số độ nhọn và skew trực tiếp kiểm soát hình dạng đuôi.
Các mô hình trong phần này:
- Merton Jump-Diffusion - Mô hình bước nhảy đầu tiên
- Kou Jump-Diffusion - Bước nhảy hàm mũ kép bất đối xứng
- Variance Gamma - Quá trình thuần bước nhảy với đồng hồ ngẫu nhiên