Trang này được dịch tự động. Bản gốc tiếng Anh là phiên bản chính thức. Đọc bằng tiếng Anh →
Chuyển đến nội dung chính

Mô hình nhảy-khuếch tán hàm mũ kép Kou

Merton mô hình hóa các bước nhảy bằng một phân phối chuẩn duy nhất -- bước nhảy lên và bước nhảy xuống có cùng hình dạng. Điều đó sai. Các cú sập mạnh hơn các đợt tăng giá. Một khoảng trống -20% xảy ra trong vài phút; một đợt tăng +20% mất hàng tuần. Kou (2002) khắc phục điều này bằng cách cho bước nhảy lên và bước nhảy xuống quy mô khác nhau.

Cơ chế: dùng phân phối hàm mũ thay vì phân phối chuẩn. Bước nhảy xuống dùng một phân phối hàm mũ (thường có trung bình lớn hơn), bước nhảy lên dùng một phân phối khác (thường có trung bình nhỏ hơn). Bạn có thể làm dốc cánh put mà không ảnh hưởng đến cánh call, và ngược lại.

💡
Mỗi cánh có tham số riêng

Trong Merton, việc làm dốc cánh put (qua bước nhảy trung bình âm) cũng ảnh hưởng đến cánh call. Trong Kou, mỗi cánh độc lập. Quy mô bước nhảy xuống làm dốc cánh put. Quy mô bước nhảy lên làm dốc cánh call. Điều này khớp với các smile trong crypto.

Khám phá các tham số​

Bật "Show Merton equiv" để xem mô hình đối xứng (Merton) so với các cánh bất đối xứng của Kou như thế nào. Hãy thử preset "Crypto crashes" để thấy cánh put dốc cùng cánh call thoải.

Trình khám phá smile mũ kép Kou

Bước nhảy xuống chiếm ưu thế: 70% bước nhảy đi xuống và lớn gấp 4x bước nhảy lên. Cánh put dốc.
33%42%51%758595ATM105115125Giá thực hiệnBiến động ngụ ý (%)Kou (bất đối xứng)Merton (đối xứng)
Tần suất bước nhảy2.00
Số bước nhảy kỳ vọng mỗi năm. 0 = phẳng (BS).
Xác suất nhảy lên0.30
Tỷ lệ các bước nhảy đi lên. Thấp = thiên về sụp đổ.
Độ lớn bước nhảy lên0.05
Độ lớn trung bình của bước nhảy lên (vd: 0.08 = 8%)
Độ lớn bước nhảy xuống0.20
Độ lớn trung bình của bước nhảy xuống (vd: 0.15 = 15%)

Bật "Hiện tương đương Merton" để so sánh bước nhảy bất đối xứng (Kou) với đối xứng (Merton). Lưu ý cách Kou có thể làm dốc một cánh một cách độc lập.

Tác dụng của từng tham số​

  • Tần suất nhảy (lambda): Số bước nhảy mỗi năm. Bằng 0 = Black-Scholes (smile phẳng). Lambda càng cao thì cả hai cánh càng nâng lên, vì bất kỳ bước nhảy nào -- lên hay xuống -- đều làm quyền chọn OTM có giá trị hơn.
  • Xác suất nhảy lên (p): Tỷ lệ bước nhảy đi lên. p thấp nghĩa là phần lớn bước nhảy là các cú sập. Tham số này dịch chuyển cân bằng skew.
  • Quy mô nhảy lên: Độ lớn trung bình của các khoảng trống đi lên. Càng lớn = cánh call càng dốc.
  • Quy mô nhảy xuống: Độ lớn trung bình của các khoảng trống đi xuống. Càng lớn = cánh put càng dốc. Trong crypto, tham số này thường gấp 2-4 lần quy mô nhảy lên.

Kou định hình các cánh như thế nào​

Thay đổi tham số
Tác động lên cánh put
Tác động lên cánh call
Trực giác
Tăng quy mô nhảy xuống
Dốc hơn
Thay đổi rất ít
Sập giá lớn hơn = bảo vệ bằng put đắt hơn
Tăng quy mô nhảy lên
Thay đổi rất ít
Dốc hơn
Đợt tăng lớn hơn = cánh call đắt hơn
Giảm xác suất nhảy lên
Dốc hơn
Thoải hơn
Nhiều bước nhảy đi xuống hơn = thiên lệch sập giá
Tăng tần suất nhảy
Nâng lên
Nâng lên
Nhiều sự kiện hơn = nhiều rủi ro đuôi hơn ở cả hai chiều
ℹ️
Kiểm soát từng cánh độc lập

Trong Merton, việc làm dốc cánh put qua bước nhảy trung bình âm cũng ảnh hưởng đến cánh call (phân phối chuẩn đối xứng quanh trung bình). Trong Kou, quy mô nhảy xuống kiểm soát cánh put và quy mô nhảy lên kiểm soát cánh call. Bật "Show Merton equiv" để thấy sự khác biệt.

Kou so với Merton​

Kou
Merton
Phân phối bước nhảy
Hàm mũ kép (bất đối xứng)
Chuẩn (đối xứng quanh trung bình)
Độc lập giữa các cánh
Cánh put và cánh call được kiểm soát riêng
Thay đổi skew ảnh hưởng đến cả hai cánh
Suy giảm đuôi
Đuôi hàm mũ (dày hơn phân phối chuẩn)
Đuôi Gauss (mỏng hơn)
Tham số
5 (σ, λ, p, η₁, η₂)
4 (σ, λ, μ_J, σ_J)
Định giá barrier/lookback
Có nghiệm dạng đóng
Không có nghiệm dạng đóng (cần MC)
Độ khớp với crypto
Tốt hơn (cánh bất đối xứng khớp với thực tế)
Khá (nhưng khó tách biệt các cánh)

Vì sao trader crypto nên quan tâm​

Rủi ro khoảng trống giá trong crypto bất đối xứng sâu sắc:

Loại sự kiện
Quy mô điển hình
Tốc độ
Tham số Kou
Thanh lý dây chuyền
-10% đến -30%
Vài phút
Quy mô nhảy xuống (lớn)
Khoảng trống do sàn sự cố
Cả hai chiều, -20% đến +10%
Tức thì
Cả hai quy mô nhảy + xác suất
Đợt tăng do phê duyệt ETF
+5% đến +15%
Vài giờ
Quy mô nhảy lên (vừa phải)
Stablecoin mất neo
-5% đến -50%
Vài block
Quy mô nhảy xuống (rất lớn)

Hãy để ý quy luật: các đợt giảm nhanh hơn và lớn hơn các đợt tăng. Merton không thể nắm bắt tính bất đối xứng này một cách gọn gàng -- bạn có thể dịch trung bình sang âm, nhưng tính đối xứng của phân phối chuẩn quanh trung bình đó vẫn lan sang cánh call. Phân phối hàm mũ kép của Kou tách hai phía một cách tự nhiên.

💡
Mô hình nhảy để khớp từng cánh độc lập

Kou tách biệt cánh put và cánh call. Quy mô nhảy xuống là tham số sập giá. Quy mô nhảy lên là tham số tăng giá. Chúng không can thiệp vào nhau. Nếu bạn giao dịch put và call OTM như các sổ riêng biệt -- và trong crypto, bạn nên làm vậy -- Kou khớp với cấu trúc đó.

Công cụ khám phá phương trình​

Trình khám phá phương trình

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
Mức biến động ngụ ý
ngày
Số ngày dương lịch đến đáo hạn
Phương sai tổng (w)
0.022225
Phương sai theo năm (σ²)
0.2704
IV tính ngược lại
52.00%
Phương sai tổng là đại lượng mà SVI và các mô hình khác khớp (fit). Nó tăng theo thời gian, nên vol 50% trong 30 ngày có phương sai tổng nhỏ hơn vol 50% trong 90 ngày.

Kiểm tra hiểu biết của bạn trước khi tiếp tục.

Q: Ưu điểm chính của Kou so với Merton khi khớp smile biến động là gì?
Q: Vì sao đuôi hàm mũ sát thực tế hơn đuôi Gauss đối với quy mô bước nhảy trong crypto?
Q: Nếu bạn tăng quy mô nhảy xuống từ 10% lên 25%, điều gì xảy ra với cánh call?
Q: Kou có ưu điểm thực tế gì so với Merton trong định giá quyền chọn ngoại lai?

💡 Mẹo: Hãy thử trả lời từng câu hỏi trước khi xem đáp án.

Xây dựng trực giác toán học​

Học Kou từ đầuBài học tương tác · không cần kiến thức nền

Bài học này giải thích mô hình như hai cỗ máy nhảy riêng biệt cho chiều tăng và chiều giảm, sau đó đi qua trực giác về phân phối hàm mũ kép và lý do nó cho phép kiểm soát các cánh gọn gàng hơn Merton.

Xem thêm:

Cập nhật lần cuối vào