Biến động cục bộ (Local Volatility)

thông tin

Trang này trình bày mô hình biến động cục bộ Dupire. Để hiểu mô hình này nằm ở đâu trong quy trình xây dựng bề mặt biến động, xem Cách xây dựng bề mặt. Để so sánh với các phương pháp khác, xem Các phương pháp nội suy.

Biến động cục bộ (local volatility) là độ biến động tức thời của tài sản cơ sở tại một mức giá và một thời điểm cụ thể. Đó là hàm $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ mà khi đưa vào một mô hình khuếch tán sẽ tái tạo chính xác toàn bộ giá quyền chọn kiểu châu Âu quan sát được.

Ý tưởng này được phát triển độc lập bởi Bruno Dupire (1994) và Derman & Kani (1994). Đây là mô hình duy nhất khớp với toàn bộ bề mặt biến động ngụ ý mà không cần thêm bất kỳ giả định nào.

Biến động ngụ ý so với biến động cục bộ

Điểm mấu chốt: biến động ngụ ý là trung bình pha trộn của các local vol dọc theo đường đi đến ngày đáo hạn. Local vol là độ biến động tức thời, tính "theo từng điểm".

Biến động ngụ ý vs biến động cục bộ

Smile điển hình của cổ phiếu/crypto. Biến động cục bộ cao hơn và nhọn hơn biến động ngụ ý.

Biến động cục bộ (nét liền) luôn nhọn hơn biến động ngụ ý (nét đứt). Biến động ngụ ý là trung bình có trọng số của các biến động cục bộ dọc theo quỹ đạo giá.

Hãy chuyển đổi giữa các hình dạng smile và chú ý:

Local vol luôn nhọn hơn. Vì biến động ngụ ý lấy trung bình trên toàn đường đi, nó làm mượt các giá trị cực trị. Local vol cho thấy bức tranh thô, chưa qua lấy trung bình.
Skew ngụ ý càng dốc thì local vol càng biến đổi mạnh. Trong trường hợp skew dốc (khủng hoảng), local vol tăng vọt ở cánh trái. Mô hình đang nói rằng: "Nếu giá giao ngay giảm sâu đến mức đó, độ biến động tức thời phải rất cao mới khớp được với giá put quan sát được."
Mối quan hệ này giống như lãi suất giao ngay so với lãi suất kỳ hạn. Biến động ngụ ý là lãi suất giao ngay (trung bình từ hiện tại đến ngày đáo hạn). Local vol là lãi suất kỳ hạn (lãi suất tức thời tại một thời điểm trong tương lai).

Ý nghĩa của local vol

Hãy hình dung giá tài sản cơ sở di chuyển qua một địa hình biến động. Tại mỗi điểm trong không gian (giá, thời gian) có một độ biến động cụ thể. Khi tài sản cơ sở dịch chuyển, nó trải qua các độ biến động tức thời khác nhau.

Một quyền chọn ATM kỳ hạn 30 ngày với biến động ngụ ý 50% có thể đi qua các local vol dao động từ 40% đến 65% trên đường đi của nó. Mức biến động ngụ ý 50% là trung bình trung lập rủi ro của tất cả các local vol đó, được gia quyền theo thời gian ở mỗi mức.

Đây là lý do hai quyền chọn có giá thực hiện khác nhau có thể có biến động ngụ ý khác nhau dù cùng phụ thuộc vào một quá trình tài sản cơ sở: chúng đi qua những vùng khác nhau của địa hình local vol.

Khi nào nên dùng local vol

Định giá quyền chọn exotic

Đây là ứng dụng chính của local vol. Quy trình:

Quan sát giá quyền chọn kiểu châu Âu (hoặc biến động ngụ ý) trên thị trường
Khớp một bề mặt biến động ngụ ý không arbitrage (dùng SVI, SSVI hoặc tương tự)
Suy ra bề mặt local vol qua công thức Dupire
Xây dựng engine định giá số (PDE sai phân hữu hạn hoặc Monte Carlo) sử dụng bề mặt local vol
Định giá quyền chọn exotic bằng cách cho tài sản cơ sở tiến hóa qua địa hình local vol

Sự đảm bảo: mọi quyền chọn exotic được định giá theo local vol đều nhất quán với toàn bộ giá quyền chọn kiểu châu Âu quan sát được. Giá quyền chọn rào cản của bạn không mâu thuẫn với các quyền chọn vanilla, điều này rất quan trọng cho việc phòng hộ.

Greeks nhất quán với bề mặt

Greeks tính theo local vol có tính đến việc biến động thay đổi khi giá giao ngay dịch chuyển. Delta theo local vol khác với delta Black-Scholes vì mô hình "biết" rằng việc dịch chuyển đến một mức giá giao ngay khác đồng nghĩa với trải qua một local vol khác. Về mặt khái niệm, điều này tương tự cái mà Taleb gọi là "shadow gamma": phần thay đổi delta tăng thêm đến từ việc biến động thay đổi do giá giao ngay dịch chuyển.

Vấn đề về động lực học

Local vol có một điểm yếu nổi tiếng: nó dự báo sai động lực học của smile.

Theo local vol, biến động là một hàm xác định của giá giao ngay. Khi bạn biết giá giao ngay ở đâu, bạn biết chính xác biến động là bao nhiêu. Không có yếu tố "bất ngờ" trong biến động. Điều này có nghĩa là:

Khi giá giao ngay giảm, local vol cho rằng biến động vốn dĩ sẽ cao như vậy ở mức giá này. Smile trở nên phẳng hơn.
Trên thực tế, khi giá giao ngay giảm, biến động thường tăng nhiều hơn mức local vol dự báo, và smile trở nên dốc hơn.

Kết quả: local vol định giá thấp một cách có hệ thống những quyền chọn phụ thuộc vào hình dạng smile trong tương lai (quyền chọn rào cản, quyền chọn khởi đầu kỳ hạn, cliquet).

Local vol so với các mô hình khác

	Local Vol	SVI	SABR
Bản chất	Biến động tức thời tại mỗi (S, t)	Hình dạng smile tham số	Mô hình biến động ngẫu nhiên
Quan sát được?	Không (suy ra)	Không (khớp)	Không (khớp)
Hiệu chuẩn chính xác	Có (theo cấu trúc)	Xấp xỉ	Xấp xỉ
Động lực học smile	Sai (xác định)	Không xác định	Tốt hơn (ngẫu nhiên)
Định giá exotic	Có (ứng dụng chính)	Không	Hạn chế
Tốc độ	Chậm (PDE/MC)	Nhanh	Nhanh (công thức)
Phù hợp nhất cho	Quyền chọn rào cản, Asian, exotic	Định giá vanilla, rủi ro	Swaption, vanilla FX

Liên hệ với các mô hình khác

Từ biến động ngụ ý sang local vol: Công thức Dupire. Yêu cầu đầu vào là một bề mặt ngụ ý không arbitrage.

Từ local vol sang biến động ngụ ý: Chạy một PDE tiến theo bề mặt local vol, định giá các quyền chọn kiểu châu Âu, rồi nghịch đảo để thu được biến động ngụ ý. Quá trình khứ hồi này chính xác theo cấu trúc.

SABR và local vol: Tham số $\beta$ của SABR điều khiển xương sống local vol (biến động tuyệt đối $\sim F^\beta$ , nên biến động phần trăm $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$ ), trong khi $\nu$ thêm một lớp ngẫu nhiên bên trên. SABR có thể được xem như một xấp xỉ tham số của local vol với động lực học bổ sung.

SVI và local vol: SVI cho bạn bề mặt ngụ ý. Dupire sau đó cho bạn local vol. Chuỗi xử lý: báo giá thị trường -> khớp SVI -> bề mặt ngụ ý -> Dupire -> local vol -> engine định giá exotic.

Xây dựng trực giác toán học

Học biến động cục bộ từ đầuBài học tương tác · trình bày công thức Dupire

Bài học tương tác ở trên trình bày mô hình biến động cục bộ Dupire từ những nguyên lý cơ bản: vì sao biến động ngụ ý là trung bình gia quyền theo đường đi của các local vol, công thức Dupire trích xuất local vol từ giá quan sát được như thế nào, mối quan hệ giữa smile biến động ngụ ý và bề mặt local vol, và vì sao local vol quan trọng khi định giá các quyền chọn exotic phụ thuộc đường đi.

Các triển khai mã nguồn mở

Repo	Lý do nên xem
QuantLib	Local vol Dupire với engine định giá FD
OpenGamma Strata	Xây dựng bề mặt local vol từ dữ liệu thị trường
RustQuant	Định giá local vol bằng Rust

Xem thêm:

Tham số hóa SVI - Mô hình dùng để xây dựng bề mặt ngụ ý
Mô hình SABR - Một lựa chọn thay thế dựa trên biến động ngẫu nhiên
Các phương pháp nội suy - So sánh tất cả các phương pháp
Cách xây dựng bề mặt - Toàn bộ quy trình

Biến động ngụ ý so với biến động cục bộ​

Biến động ngụ ý vs biến động cục bộ

Ý nghĩa của local vol​

Khi nào nên dùng local vol​

Định giá quyền chọn exotic​

Greeks nhất quán với bề mặt​

Vấn đề về động lực học​

Local vol so với các mô hình khác​

Liên hệ với các mô hình khác​

Xây dựng trực giác toán học​

Các triển khai mã nguồn mở​