Merton Jump-Diffusion
Black-Scholes giả định giá di chuyển một cách trơn tru, không có khoảng trống giá, không có sập giá đột ngột. Merton (1976) bổ sung thêm các bước nhảy. Giá có thể đột ngột dịch chuyển lên hoặc xuống, chứ không chỉ khuếch tán. Thị trường tạo khoảng trống giá qua đêm. Một stablecoin mất neo chỉ trong một block.
Đuôi dày và smile dốc ở kỳ hạn ngắn là hệ quả trực tiếp. Rủi ro nhảy giá càng lớn thì hai cánh của bề mặt biến động càng dốc.
Vì sao các bước nhảy quan trọng đối với quyền chọn
Một put OTM đáo hạn sau 2 ngày gần như vô giá trị theo Black-Scholes, vì không đủ thời gian để quá trình khuếch tán chạm tới giá thực hiện. Nhưng nếu thị trường có thể nhảy 15% qua đêm, put đó có giá trị thực sự. Các mô hình nhảy giá nắm bắt được điều này. Đó là lý do smile ở kỳ hạn ngắn rất dốc.
Khám phá các tham số
Hãy bắt đầu với "No jumps" để thấy đường Black-Scholes phẳng. Sau đó chuyển sang "Crash risk" và quan sát cánh put dốc lên.
Trình khám phá smile Merton (khuếch tán có bước nhảy)
Bắt đầu với "Không có bước nhảy" để xem Black-Scholes phẳng, sau đó chuyển sang "Rủi ro sụp đổ" để xem bước nhảy tạo ra skew như thế nào.
Vai trò của từng tham số
- Lambda (cường độ nhảy): Số bước nhảy bạn kỳ vọng mỗi năm. Bằng 0 nghĩa là Black-Scholes. Bằng 1 nghĩa là khoảng một sự kiện cỡ sập giá mỗi năm. Trong crypto, con số này có thể là 2-3.
- Kích thước nhảy trung bình: Hướng trung bình của một bước nhảy. Giá trị âm nghĩa là sập giá phổ biến hơn tăng vọt. Đây chính là thứ tạo ra skew phía put.
- Biến động của bước nhảy: Mức độ dao động của mỗi bước nhảy. Ngay cả khi bước nhảy trung bình bằng 0, biến động nhảy cao vẫn tạo ra đuôi dày (cả hai cánh đều nâng lên).
- Biến động cơ sở (sigma): Biến động khuếch tán thông thường giữa các bước nhảy. Tham số này quyết định mức tổng thể.
Các bước nhảy định hình smile như thế nào
Smile từ bước nhảy so với smile từ biến động ngẫu nhiên
Merton và Heston (biến động ngẫu nhiên) đều tạo ra smile, nhưng theo những cách khác nhau. Sự khác biệt này quan trọng đối với giao dịch.
Kỳ hạn ngắn so với kỳ hạn dài
Mô hình Merton hữu ích nhất cho các quyền chọn kỳ hạn ngắn, nơi rủi ro nhảy giá chiếm ưu thế. Với kỳ hạn dài hơn, định lý giới hạn trung tâm phát huy tác dụng: nhiều bước nhảy nhỏ trông giống như khuếch tán, và smile chỉ do bước nhảy tạo ra sẽ mờ dần. Biến động ngẫu nhiên chiếm ưu thế ở đầu dài của cấu trúc kỳ hạn.
Merton trong crypto
Có thể nói crypto là nơi mô hình Merton quan trọng nhất. Thị trường giao dịch 24/7 nhưng khoảng trống thanh khoản rất phổ biến: sàn ngừng hoạt động, oracle lỗi, chuỗi thanh lý đột ngột. Đó đều là các bước nhảy. Mức ATM có thể không thay đổi nhiều, nhưng hai cánh dốc lên mạnh.
Mô hình đơn giản nhất định giá rủi ro khoảng trống giá
Merton giải thích vì sao các quyền chọn OTM kỳ hạn ngắn đắt hơn mức Black-Scholes dự đoán. Nếu bạn giao dịch quyền chọn tuần hoặc quyền chọn crypto kỳ hạn ngắn, thứ bạn thực sự định giá chính là rủi ro nhảy giá. Phòng hộ delta theo Merton khác với Black-Scholes vì thành phần nhảy giá không thể phòng hộ, chỉ phần khuếch tán mới có thể tái tạo được. Mức phơi nhiễm vega về mặt cấu trúc cao hơn.
Công cụ khám phá phương trình
Chuyển đổi giữa biến động ngụ ý, tổng phương sai, log-moneyness và giá quyền chọn.
Trình khám phá phương trình
💡 Mẹo: Hãy thử trả lời từng câu hỏi trước khi xem đáp án.
Xây dựng trực giác toán học
Học về bước nhảy Merton từ đầuBài học tương tác · không cần kiến thức nềnBài học này bắt đầu với câu hỏi đơn giản "nếu giá có thể dịch chuyển tức thời thì sao?" rồi xây dựng trực giác đầy đủ về cường độ nhảy, kích thước nhảy, và vì sao hai cánh ở kỳ hạn ngắn trở nên đắt đỏ.
Xem thêm:
- Black-Scholes: Mô hình cơ sở không có bước nhảy
- Mô hình Heston: Biến động ngẫu nhiên (cách còn lại để tạo ra smile)
- Variance Gamma: Mô hình nhảy thuần túy, hoàn toàn không có khuếch tán
- Skew: Vì sao smile bị nghiêng