Mô hình SABR

thông tin

Trang này trình bày chuyên sâu về mô hình SABR. Để hiểu mô hình này nằm ở đâu trong quy trình xây dựng bề mặt biến động, vui lòng xem Cách xây dựng bề mặt. Để so sánh với các phương pháp khác, vui lòng xem Các phương pháp nội suy.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) là một mô hình biến động ngẫu nhiên do Hagan, Kumar, Lesniewski và Woodward giới thiệu năm 2002. Khác với SVI, vốn mô tả hình dạng của smile, SABR mô tả động lực tạo ra smile đó. Smile xuất hiện như một hệ quả của cách biến động thay đổi cùng với tài sản cơ sở.

SABR là mô hình chủ đạo cho swaption lãi suất và cap/floor. Mô hình này ít phổ biến hơn trong crypto, nơi SVI được ưa chuộng nhờ cách fit đơn giản hơn và hành vi ở hai cánh tốt hơn.

Khám phá các tham số

Hãy điều chỉnh từng tham số để xem smile SABR thay đổi như thế nào. Bật "Show backbone" để xem đường cong chỉ có CEV (hình dạng smile khi không có vol-of-vol).

Trình khám phá smile SABR

Smile swaption lãi suất điển hình. Skew vừa phải, độ cong nhẹ.

α (mức vol)0.30

Vol tức thời hiện tại

β (backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = căn bậc hai, 1 = lognormal

ρ (tương quan spot-vol)-0.30

Âm = skew put (thường gặp)

ν (vol of vol)0.40

Điều chỉnh độ rộng của smile. 0 = không có smile.

Bật "Hiện backbone" để xem đường cong chỉ CEV (không có vol-of-vol). Khoảng cách giữa backbone và smile đầy đủ là phần đóng góp của ν.

Vai trò của từng tham số

• $\alpha$ (mức biến động): Biến động tức thời hiện tại. $\alpha$ càng cao thì IV tổng thể càng cao. Đây là tham số được hiệu chỉnh lại thường xuyên nhất.
• $\beta$ (backbone): Kiểm soát cách biến động thay đổi theo giá tài sản cơ sở. $\beta = 1$ nghĩa là biến động theo phần trăm không đổi (lognormal). $\beta = 0$ nghĩa là biến động theo giá trị đô la không đổi (normal). $\beta = 0.5$ nằm ở giữa (căn bậc hai). Trong thực tế, $\beta$ thường được cố định theo quy ước thị trường thay vì được fit.
• $\rho$ (tương quan giá-biến động): Kiểm soát skew. $\rho$ âm nghĩa là biến động tăng khi tài sản cơ sở giảm (hành vi thông thường ở cổ phiếu và crypto). $\rho$ dương nghĩa là ngược lại (hiếm gặp).
• $\nu$ (vol of vol): Kiểm soát độ rộng của smile. Khi $\nu = 0$, không có smile, chỉ còn skew do $\beta$ và $\rho$ tạo ra (gọi là "backbone"). Khi $\nu$ tăng, cả hai cánh đều được nâng lên.

Backbone

Hãy nhấn "Show backbone" trong công cụ khám phá ở trên. Đường nét đứt là smile với $\nu = 0$: không có yếu tố ngẫu nhiên trong biến động, chỉ là mô hình CEV tất định. Khoảng cách giữa backbone và smile đầy đủ chính là phần đóng góp của $\nu$ (vol-of-vol). Cách phân tách này là đặc trưng riêng của SABR và giúp trader có trực giác rõ ràng về nguồn gốc độ cong của smile.

Hiệu chỉnh

Cách tiếp cận tiêu chuẩn

1. Cố định $\beta$ theo quy ước thị trường:

   • Lãi suất: $\beta = 0.5$ (phổ biến) hoặc $\beta = 0$ (SABR normal)
   • Cổ phiếu: $\beta = 1$ (lognormal)
   • Khi $\beta$ đã cố định, mô hình còn 3 tham số tự do.

2. Gắn $\alpha$ với biến động ATM. Có một quan hệ gần dạng đóng giữa $\alpha$ và biến động ngụ ý ATM. Từ IV ATM quan sát được, ta giải ra $\alpha$. Việc này giảm bài toán fit xuống còn 2 tham số tự do.

3. Fit $\rho$ và $\nu$ bằng cách tối thiểu hóa sai số có trọng số giữa smile SABR và IV quan sát được trên các giá thực hiện. Với chỉ 2 tham số, quá trình này nhanh và ổn định.

Trọng số

• ATM nhận trọng số lớn nhất (thanh khoản cao nhất, đáng tin cậy nhất)
• Quyền chọn có spread giá mua/giá bán hẹp nhận trọng số cao hơn
• Quyền chọn ngoài tiền (OTM) sâu nhận trọng số thấp hơn (xấp xỉ Hagan kém chính xác hơn ở vùng này)

Điểm mạnh

Diễn giải động. SABR cho bạn biết smile sẽ dịch chuyển thế nào khi tài sản cơ sở biến động. Mặc định, SABR tạo ra hành vi gần giống sticky-delta: khi giá giảm, biến động tăng (nếu $\rho < 0$), và smile dịch chuyển theo giá. Điều này có giá trị với các sản phẩm mà động lực của smile ảnh hưởng đến việc phòng hộ.

Phân tách backbone. Việc tách backbone (skew do $\beta$ tạo ra) khỏi smile (độ cong do $\nu$ tạo ra) giúp trader có một mô hình tư duy rõ ràng.

Tiết kiệm tham số. Khi $\beta$ đã cố định và $\alpha$ được gắn với ATM, bạn chỉ cần fit 2 tham số. Quá trình này nhanh và ít có nguy cơ overfit.

Hạn chế

Vấn đề ở hai cánh. Xấp xỉ Hagan có thể tạo ra biến động ngụ ý âm hoặc mật độ xác suất âm ở các cánh xa. Đây là vấn đề đã được biết đến. Các hệ thống production sử dụng các công thức đã hiệu chỉnh (SABR không có arbitrage, hoặc bộ giải PDE cho các giá thực hiện cực đoan).

Kỳ hạn dài. Khai triển tiệm cận kém chính xác dần với các kỳ hạn trên 10-15 năm. Khi đó nên dùng phương pháp số.

Fit tĩnh, không phải hiệu chỉnh động. Mặc dù SABR có diễn giải động, trong thực tế mỗi ngày đáo hạn được fit độc lập (giống như SVI). Câu chuyện về động lực mang tính lý tưởng hơn là được áp dụng trong vận hành.

SABR so với SVI

	SABR	SVI
Đối tượng mô hình hóa	Động lực tạo ra smile	Hình dạng của smile
Tham số	3 (khi cố định $\beta$)	5
Arbitrage	Công thức Hagan có thể vi phạm ở hai cánh	Có sẵn các ràng buộc rõ ràng
Hành vi ở hai cánh	Có thể sai lệch ở giá thực hiện cực đoan	Bị chặn, tiệm cận tuyến tính
Tốc độ	Tính theo công thức	Tối ưu hóa
Phù hợp nhất cho	Lãi suất, FX	Cổ phiếu, crypto

Điểm khác biệt chính: SABR trả lời câu hỏi "smile dịch chuyển như thế nào?", còn SVI trả lời "smile trông như thế nào?". Với định giá và quản lý rủi ro quyền chọn kiểu châu Âu đơn giản, cách fit đơn giản hơn và hành vi ở hai cánh tốt hơn của SVI thường chiếm ưu thế. Với các sản phẩm mà động lực của smile quan trọng (swaption kiểu Bermuda, quyền chọn rào cản theo sticky-delta), diễn giải động của SABR rất có giá trị.

Liên hệ với SVI

SABR có thể dùng để khởi tạo việc fit SVI. Hãy fit SABR trước (tối ưu hóa nhanh với 2 tham số), tính smile SABR tại nhiều giá thực hiện, sau đó fit SVI theo các điểm đó. Cách này cho SVI một điểm khởi đầu tốt khi dữ liệu thị trường thưa thớt.

Xây dựng trực giác toán học

Học SABR từ đầuBài học tương tác · 4 tham số, 5 phần

Bài học tương tác ở trên lần lượt hướng dẫn từng tham số trong bốn tham số của SABR: alpha xác định mức biến động ra sao, rho làm nghiêng skew thế nào, nu nâng hai cánh lên ra sao, và beta kiểm soát động lực backbone như thế nào. Mỗi phần có một thanh trượt riêng để bạn có thể tách biệt tác động của từng tham số.

Các triển khai mã nguồn mở

Repo	Lý do nên xem
QuantLib	Xấp xỉ Hagan cho SABR + hiệu chỉnh
pysabr	Triển khai SABR bằng Python thuần, dễ đọc
OpenGamma Strata	SABR với nội suy smile trong quản lý rủi ro production

---

Xem thêm:

• Tham số hóa SVI - Smile theo từng ngày đáo hạn mà Hypercall fit cho các bề mặt quyền chọn cổ phiếu
• Biến động cục bộ - Bề mặt biến động tức thời của Dupire
• Các phương pháp nội suy - So sánh tất cả các phương pháp
• Cách xây dựng bề mặt - Toàn bộ quy trình